数据操作

为了能够完成各种数据操作，需要某种方法来存储和操作数据：

  • 获取数据
  • 将数据读入计算机后再进行处理

如果没有某种方法来存储数据，那么获取数据是没有意义的。
首先，我们介绍一下 n 维数组，也叫张量（tensor）。无论使用哪个深度学习框架，它的张量类（在MXNet中为ndarray，在PyTorch和TensorFlow中为Tensor）都与Numpy的ndarray类似。但是深度学习框架又比Numpy的ndarray多一些重要功能：首先，GPU很好地支持加速，而NumPy只支持CPU计算；其次，张量类支持自动微分。这些功能使得张量类更适合深度学习。

入门

首先，我们导入torch。但是请注意，虽然它被称为PyTorch，但代码中使用的torch并不是pytorch。

1
import torch

张量表示一个由数值组成的阵列，这个阵列可能有多个维度。
具有一个轴的张量对应数学上的矩阵（向量）； 具有两个轴以上的张量对应数学上的矩阵（矩阵）； 具有两个轴以上的张量没有特殊的数学名称。

可以使用arange创建一个行标记 x。
这个行标记包含0开始的前12个以整数，它们默认创建为整数。也可以指定创建类型为浮点数。
张量中的每个值都称为张量的元素（element）。例如，张量x包含12个元素。除非额外指定，新的张量将存储在内存中，并采用基于CPU的计算。

1
x = torch.arange(12)
1
x
tensor([ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11])

通过张量的shape属性来访问张量（沿每个轴的长度）的形状。

1
x.shape
torch.Size([12])

通过张量的 numel 统计元素个数

1
x.numel()
12

reshape可以把张量x从形状为（12,）的行转换为形状为（3,4）的矩阵。
这个新的张量包含转换与前面相同的值，它被看成一个3行4列的矩阵。要重点说明一下，虽然张量的形状发生了改变，但其元素值并没有改变。
注意，通过改变张量的形状，张量的大小不会改变。

1
x.reshape(3, 4)
tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11]])

可以像上面一样进行手动指定每个维度来改变张量的形状。troch 提供了一个很便捷的方式，可以自动计算出维度。
通过来-1调用这个自动计算出维度的功能。也就是说我们可以用x.reshape(-1,4)或x.reshape(3,-1)来替换x.reshape(3,4)。

1
x.reshape(-1,4)
tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11]])

有时，我们希望使用全0、全1、其他常量，或者从选择性分配中随机采样的数字来初始化矩阵。
我们可以创建一个形状为（2,3,4）的张量，其中所有元素都设置为0。

1
torch.zeros(2, 3, 4)
tensor([[[0., 0., 0., 0.],
         [0., 0., 0., 0.],
         [0., 0., 0., 0.]],

        [[0., 0., 0., 0.],
         [0., 0., 0., 0.],
         [0., 0., 0., 0.]]])

也可以创建一个形状为(2,3,4)张量，其中所有元素都设置为1。

1
torch.ones(2, 3, 4)
tensor([[[1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.]],

        [[1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.]]])

有时我们想通过从某个特定的概率分布中随机采样来得到每个元素的值。
例如，当我们初始化分布来作为神经网络中的参数时，我们通常会随机初始化参数的值。下面创建一个形状为（3,4）的张量。其中每个元素都从均值为0、标准差为1的标准分布（正态分布）中随机采样。

1
torch.randn(3, 4)
tensor([[ 1.1306, -2.1668, -0.3121,  0.5374],
        [ 0.7269,  1.1178,  0.8274, -0.6745],
        [-0.3906, -0.8182, -0.6219,  1.8655]])

还可以通过提供包含数值的Python列表（或嵌套列表），来为所需张量中的每个元素赋予确定值。

1
torch.tensor([[2, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
tensor([[2, 1, 4, 3],
        [1, 2, 3, 4],
        [4, 3, 2, 1]])

运算符

对于任意具有相同形状的张量，常见的标准算术运算符（+、-、、/和*）都可以被升级为按元素运算。 我们可以在同一形状的任意两个张量上调用按元素操作。 在下面的例子中，我们使用逗号来表示一个具有5个元素的元组，其中每个元素都是按元素操作的结果。

1
2
3
x = torch.tensor([1.0, 2, 4, 8])
y = torch.tensor([2, 2, 2, 2])
x + y, x - y, x * y, x / y, x ** y
(tensor([ 3.,  4.,  6., 10.]),
 tensor([-1.,  0.,  2.,  6.]),
 tensor([ 2.,  4.,  8., 16.]),
 tensor([0.5000, 1.0000, 2.0000, 4.0000]),
 tensor([ 1.,  4., 16., 64.]))

求幂运算

1
torch.exp(x)
tensor([2.7183e+00, 7.3891e+00, 5.4598e+01, 2.9810e+03])

除了按元素计算外，我们还可以执行线性代数运算，包括向量点积和矩阵乘法。后面学习。

可以把多个张量连结（concatenate）在一起，把它们端对端地叠起来形成一个更大的张量。我们只需要提供张量列表，并给出沿哪个轴连结。
下面的例子分别演示了当沿行（轴-0，形状的第一个元素） 和按列（轴-1，形状的第二个元素）连结两个矩阵时，会发生什么情况。
可以看到，第一个输出张量的轴-0长度（6）是两个输入张量轴-0长度的总和（3+3）；第二个输出张量的轴-1长度（8）是两个输入张量轴-1长度的总和（4+4）。
轴-0:行
轴-1:列

1
2
3
X = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape((3,4))
Y = torch.tensor([[2.0, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
X, Y
(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.]]),
 tensor([[2., 1., 4., 3.],
         [1., 2., 3., 4.],
         [4., 3., 2., 1.]]))

1
torch.cat((X, Y), dim=0), torch.cat((X, Y), dim=1)
(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [ 2.,  1.,  4.,  3.],
         [ 1.,  2.,  3.,  4.],
         [ 4.,  3.,  2.,  1.]]),
 tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.,  2.,  1.,  4.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.,  1.,  2.,  3.,  4.],
         [ 8.,  9., 10., 11.,  4.,  3.,  2.,  1.]]))

通过逻辑运算符构建二元张量。 以X == Y为例：对于每个位置，若X和Y在该位置相等，则新张量中相应项的值为1。意味着逻辑语句X == Y在该位置处为真，否则该位置为0。

1
X == Y
tensor([[False,  True, False,  True],
        [False, False, False, False],
        [False, False, False, False]])

对张量中的所有元素进行求和，会产生一个单元素张量。

1
X.sum()
tensor(66.)

广播机制

在上面的部分中，看到了如何在相同形状的两个张量上执行按元素操作。在某些情况下，即使形状不同，我们仍然可以通过调用广播机制（broadcasting mechanism）来执行按元素操作。 这种机制的工作方式如下：
1.通过适当复制元素来扩展一个或两个数组，以便在转换之后，两个张量具有相同的形状
2.对生成的数组执行按元素操作

在大多数情况下，我们将沿着数组中长度为1的轴（列）进行广播，如下例子：

1
2
3
a = torch.arange(3).reshape((3, 1))
b = torch.arange(2).reshape((1, 2))
a, b
(tensor([[0],
         [1],
         [2]]),
 tensor([[0, 1]]))

由于a和b分别是3 * 1和 1 * 2 的矩阵，如果让它们相加，它们的形状不匹配。
我们将两个矩阵广播为一个更大的3 * 2的矩阵，如下所示：矩阵a将复制列，矩阵b将复制行，然后再按元素相加。

1
a + b
tensor([[0, 1],
        [1, 2],
        [2, 3]])

广播的规则
从右到左比较每个维度（即从最后一个维度开始）：

  1. 维度数相同或可以通过在较短张量左边添加维度来对齐；例如：一个是二维矩阵一个是三维度矩阵，那么可以在二维矩阵的最左边补个1，看作三维矩阵
  2. 两个维度要么相等，要么其中一个是 1
  3. 如果维度是 1，它就会被广播（扩展）成与另一个维度相同
    所有维度必须满足上述条件，否则就会报错

索引和切片

就像在任何其他Python数组中一样，张量中的元素可以通过索引访问。
与任何Python数组一样：第一个元素的索引是0，最后一个元素索引是-1；可以指定范围以包含第一个元素和最后一个之前的元素。

可以用[-1]选择最后一个元素，可以用[1:3]选择第二个元素到第三个元素（下标从0开始）

1
X[-1], X[1:3]
(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]),
 tensor([[ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.]]))

除读取外，我们还可以通过指定索引来将元素写入矩阵。

1
2
X[1, 2] = 9
X
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  9.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.]])

如果想为多个元素赋值相同的值，我们只需要索引所有元素，然后为它们赋值。
例如，[0:2, :]访问第1行到第2行，其中后面的一个“:”代表沿轴1（列）的所有元素。虽然我们讨论的是矩阵的索引，但这也适用于向量和超过2个维度的张量。

1
2
X[0:2, :] = 12
X
tensor([[12., 12., 12., 12.],
        [12., 12., 12., 12.],
        [ 8.,  9., 10., 11.]])

节省内存

运行一些操作可能会导致为新结果分配内存。例如，如果用Y = X + Y，我们将取消引用Y指向的张量，而是指向新分配的内存处的张量。
在下面的例子中，我们用Python的id()函数演示了这一点，它给我们提供了内存中引用对象的确切地址。
运行Y = Y + X后，我们会发现id(Y)指向另一个位置。 这是因为Python首先计算Y + X，为结果分配新的内存，然后使Y指向内存中的这个新位置。

1
2
3
before = id(Y)
Y = Y + X
before == id(Y)
False

将二者的地址打印出来可能更清楚，每次执行地址可能都不相同。

1
before, id(Y)
(5179447312, 5179525936)

这可能是不好的，原因有两个：

  1. 我们不想总是不必要地分配内存。在机器学习中，我们可能有数百兆的参数，并且在一秒内多次更新所有参数。通常情况下，我们希望原地执行这些更新；
  2. 如果我们不原地更新，其他引用仍然会指向旧的内存位置，这样我们的某些代码可能会无意中引用旧的参数。

幸运的是，执行原地操作非常简单。 我们可以使用切片表示法将操作的结果分配给先前分配的数组，例如Y[:] = 。
为了说明这一点，我们首先创建一个新的矩阵Z，其形状与另一个Y相同， 使用zeros_like来分配一个全的块。

1
2
3
4
Z = torch.zeros_like(Y)   # 形状和Y一样的，元素全为零的张量
print('id(Z):', id(Z))
Z[:] = X + Y
print('id(Z):', id(Z))
id(Z): 5179567296
id(Z): 5179567296

如果在后续计算中没有重复使用X， 我们也可以使用X[:] = X + Y或X += Y来减少操作的内存开销。

1
2
3
4
before = id(X)
# X = X + Y    False
X += Y       
id(X) == before
True

转换为其他Python对象

将深度学习框架定义的张量转换为NumPy张量（ndarray）很容易，反之也同样容易。
torch张量和numpy数组将共享它们的底层内存，就地操作更改一个张量也会同时更改另一个张量。

1
2
3
A = X.numpy()
B = torch.tensor(A)
type(A), type(B)
(numpy.ndarray, torch.Tensor)

要将大小为1的张量转换为Python标量，我们可以调用item函数或Python的内置函数。

1
2
a = torch.tensor([3.5])
a, a.item(), float(a), int(a)
(tensor([3.5000]), 3.5, 3.5, 3)

小结

  • 深度学习存储和操作数据的主要接口是张量（n维数组）。它提供了各种功能，包括基本数学运算、广播、索引、切片、内存节省和转换其他Python对象。

练习

  1. 运行本节中的代码。将本节中的条件语句X == Y更改为X < Y或X > Y，然后看看你可以得到什么样的张量。
1
2
X = torch.arange(12).reshape(-1,4)
X
tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11]])

1
2
Y = torch.tensor([[2.0, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
Y
tensor([[2., 1., 4., 3.],
        [1., 2., 3., 4.],
        [4., 3., 2., 1.]])

1
X == Y
tensor([[False,  True, False,  True],
        [False, False, False, False],
        [False, False, False, False]])

1
X < Y
tensor([[ True, False,  True, False],
        [False, False, False, False],
        [False, False, False, False]])

1
X > Y
tensor([[False, False, False, False],
        [ True,  True,  True,  True],
        [ True,  True,  True,  True]])

1
X >= Y
tensor([[False,  True, False,  True],
        [ True,  True,  True,  True],
        [ True,  True,  True,  True]])

1
X <= Y
tensor([[ True,  True,  True,  True],
        [False, False, False, False],
        [False, False, False, False]])
  1. 用其他形状（例如三维张量）替换广播机制中按元素操作的两个张量。结果是否与预期相同？
1
2
3
a = torch.arange(3).reshape((1, 3, 1))
b = torch.arange(12).reshape((3, 1, 4))
a, b
(tensor([[[0],
          [1],
          [2]]]),
 tensor([[[ 0,  1,  2,  3]],
 
         [[ 4,  5,  6,  7]],
 
         [[ 8,  9, 10, 11]]]))

1
a + b
tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
         [ 1,  2,  3,  4],
         [ 2,  3,  4,  5]],

        [[ 4,  5,  6,  7],
         [ 5,  6,  7,  8],
         [ 6,  7,  8,  9]],

        [[ 8,  9, 10, 11],
         [ 9, 10, 11, 12],
         [10, 11, 12, 13]]])

从右到左对齐维度

维度位置 a维度 b维度 广播结果
dim=2 1 4 a_dim2 → 广播成4
dim=1 3 1 b_dim1 → 广播成3
dim=0 1 3 a_dim0 → 广播成3

a 在第 0 维（batch）复制 3 次，在第 2 维复制 4 次；a 的 [1, 3, 1] → 被广播到 [3, 3, 4]
b 在第 1 维（行）复制 3 次；b 的 [3, 1, 4] → [3, 3, 4]
然后两个张量在 [3, 3, 4] 上逐元素相加。

被广播后的张量a和b 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
a = torch.tensor([[[0, 0, 0, 0],
                   [1, 1, 1, 1],
                   [2, 2, 2, 2]],

                  [[0, 0, 0, 0],
                   [1, 1, 1, 1],
                   [2, 2, 2, 2]],

                   [[0, 0, 0, 0],
                    [1, 1, 1, 1],
                    [2, 2, 2, 2]]])  # shape: [3, 3, 4]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
b = torch.tensor([[[ 0,  1,  2,  3]],
                  [[ 4,  5,  6,  7]],
                  [[ 8,  9, 10, 11]],
            
                  [[ 0,  1,  2,  3]],
                  [[ 4,  5,  6,  7]],
                  [[ 8,  9, 10, 11]],
            
                  [[ 0,  1,  2,  3]],
                  [[ 4,  5,  6,  7]],
                  [[ 8,  9, 10, 11]]])  # shape: [3, 3, 4]
1

数据预处理

为了能用深度学习来解决现实世界的问题，我们经常从预处理原始数据开始， 而不是从那些准备好的张量格式数据开始。
在Python中常用的数据分析工具中，我们通常使用pandas软件包。像庞大的Python生态系统中的许多其他扩展包一样，pandas可以与张量兼容。
本节我们将简要介绍使用pandas预处理原始数据，并将原始数据转换为张量格式的步骤。

读取数据集

我们首先创建一个人工数据集，并存储在CSV（逗号分隔值）文件 ../data/house_tiny.csv中。
以其他格式存储的数据也可以通过类似的方式进行处理。下面我们将数据集按行写入CSV文件中。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
import os    # 用于路径处理和文件操作的模块

# 创建一个名为 "data" 的目录，它位于当前脚本所在目录的上一级目录中
# 如果目录已存在，则不会报错（exist_ok=True）
os.makedirs(os.path.join('..', 'data'), exist_ok=True)

# 构造数据文件的路径：../data/house_tiny.csv
# os.path.join 会根据操作系统自动添加斜杠（比如 macOS 会用 /）
data_file = os.path.join('..', 'data', 'house_tiny.csv')

# 使用写入模式（'w'）打开文件。如果文件不存在，会自动创建；如果存在，会清空原内容
with open(data_file, 'w') as f:
    f.write('NumRooms,Alley,Price\n')  # 列名
    f.write('NA,Pave,127500\n')  # 每行表示一个数据样本  NA为数据缺失
    f.write('2,NA,106000\n')
    f.write('4,NA,178100\n')
    f.write('NA,NA,140000\n')

要从创建的CSV文件中加载原始数据集，我们导入pandas包并调用read_csv函数。
该数据集有四行三列。其中每行描述了房间数量（“NumRooms”）、巷子类型（“Alley”）和房屋价格（“Price”）。

1
2
3
4
5
6
# 如果没有安装pandas，需要执行下面的命令安装 pandas
# !pip install pandas
import pandas as pd

data = pd.read_csv(data_file)     # 使用 pandas 读取 CSV 文件，返回一个 DataFrame 对象
print(data)
   NumRooms Alley   Price
0       NaN  Pave  127500
1       2.0   NaN  106000
2       4.0   NaN  178100
3       NaN   NaN  140000

处理缺失值

“NaN”项代表缺失值。为了处理缺失的数据，典型的方法包括插值法和删除法，其中插值法用一个替代值弥补缺失值，而删除法则直接忽略缺失值。
在这里，我们将考虑插值法。通过位置索引iloc，我们将data分成inputs和outputs，其中前者为data的前两列，而后者为data的最后一列。对于inputs中缺少的数值，我们用同一列的均值替换“NaN”项。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
# data.iloc[:, 0:2]：取前两列（即 NumRooms 和 Alley）作为特征 inputs
# data.iloc[:, 2]：取第三列（Price）作为标签 outputs
inputs, outputs = data.iloc[:, 0:2], data.iloc[:, 2]

# inputs = inputs.fillna(inputs.mean())  这个会报错，因为 Alley 不属于数值列，是字符串类型

# 只填充数值列的缺失值
inputs = inputs.fillna(inputs.select_dtypes(include='number').mean())
print(inputs)
   NumRooms Alley
0       3.0  Pave
1       2.0   NaN
2       4.0   NaN
3       3.0   NaN

对于inputs中的类别值或离散值，我们将“NaN”视为一个类别。由于“巷子类型”（“Alley”）列只接受两种类型的类别值“Pave”和“NaN”，pandas可以自动将此列转换为两列“Alley_Pave”和“Alley_nan”。 巷子类型为“Pave”的行会将“Alley_Pave”的值设置为1，“Alley_nan”的值设置为0。
缺少巷子类型的行会将“Alley_Pave”和“Alley_nan”分别设置为0和1。

1
2
3
4
5
6
7
# pd.get_dummies()：把类别变量（例如字符串列）转换成 one-hot 编码。
# dummy_na=True：表示即使某列中有缺失值（NaN），也会为 NaN 创建一个单独的 one-hot 列。
inputs = pd.get_dummies(inputs, dummy_na=True)
print(inputs)

# Alley_Pave = true 表示该行的 Alley 是 "Pave"
# Alley_nan = true 表示该行的 Alley 是缺失（NaN）
   NumRooms  Alley_Pave  Alley_nan
0       3.0        True      False
1       2.0       False       True
2       4.0       False       True
3       3.0       False       True

转换为张量格式

现在inputs和outputs中的所有条目都是数值类型，它们可以转换为张量格式。当数据采用张量格式后，可以通过在 2.1节中引入的那些张量函数来进一步操作。

1
2
3
4
5
import torch

X = torch.tensor(inputs.to_numpy(dtype=float))
y = torch.tensor(outputs.to_numpy(dtype=float))
X, y
(tensor([[3., 1., 0.],
         [2., 0., 1.],
         [4., 0., 1.],
         [3., 0., 1.]], dtype=torch.float64),
 tensor([127500., 106000., 178100., 140000.], dtype=torch.float64))

小结

  • pandas软件包是Python中常用的数据分析工具中，pandas可以与张量兼容。
  • 用pandas处理缺失的数据时，我们可根据情况选择用插值法和删除法。

练习

创建包含更多行和列的原始数据集。

  1. 删除缺失值最多的列。
  2. 将预处理后的数据集转换为张量格式。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
import pandas as pd

data = pd.read_csv(data_file) 
print(data)

# 计算每列的缺失值数量
na_counts = data.isna().sum()

# 找出缺失值最多的列
most_na_column = na_counts.idxmax()

# 删除该列
data = data.drop(columns=[most_na_column])
   NumRooms Alley   Price
0       NaN  Pave  127500
1       2.0   NaN  106000
2       4.0   NaN  178100
3       NaN   NaN  140000

1
print(data)
   NumRooms   Price
0       NaN  127500
1       2.0  106000
2       4.0  178100
3       NaN  140000

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
# 将剩下的类别列 one-hot 编码（含缺失值）
data = pd.get_dummies(data, dummy_na=True)

# 填充数值列缺失值为均值
data = data.fillna(data.mean())

# 用 NumPy 的方式把 DataFrame 转换为二维数组，同时指定元素类型为 float
# 最终张量的类型是 torch.float64
# tensor_data = torch.tensor(data.to_numpy(dtype=float))

# data.values 和 data.to_numpy() 是等价的，都是将 DataFrame 转为二维数组
# dtype=torch.float32：直接指定了 PyTorch 张量使用 float32 类型，这个是深度学习中更常用的类型（尤其是 GPU 训练时）
tensor_data = torch.tensor(data.values, dtype=torch.float32)
1
print(tensor_data)
tensor([[3.0000e+00, 1.2750e+05],
        [2.0000e+00, 1.0600e+05],
        [4.0000e+00, 1.7810e+05],
        [3.0000e+00, 1.4000e+05]])

线性代数

对于这一小结，我并不准备做过多的笔记，有线性代数基础的应该很清楚，后面只要会用就可以了

标量

1
2
3
4
5
6
import torch

x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)

x + y, x * y, x / y, x ** y
(tensor(5.), tensor(6.), tensor(1.5000), tensor(9.))

向量

1
2
x = torch.arange(4)
x
tensor([0, 1, 2, 3])

1
x[3]
tensor(3)

长度、维度和形状

1
len(x), x.shape
(4, torch.Size([4]))

矩阵

1
2
A = torch.arange(20).reshape(-1, 4)
A
tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

1
A.T
tensor([[ 0.,  4.,  8., 12., 16.],
        [ 1.,  5.,  9., 13., 17.],
        [ 2.,  6., 10., 14., 18.],
        [ 3.,  7., 11., 15., 19.]])

1
2
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B
tensor([[1, 2, 3],
        [2, 0, 4],
        [3, 4, 5]])

1
B == B.T
tensor([[True, True, True],
        [True, True, True],
        [True, True, True]])

张量

1
2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
         [ 4,  5,  6,  7],
         [ 8,  9, 10, 11]],

        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

张量算法的基本性质

1
2
3
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()  # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
id(A), id(B)
(5472771744, 5473309776)

1
A, A + B
(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
         [ 8., 10., 12., 14.],
         [16., 18., 20., 22.],
         [24., 26., 28., 30.],
         [32., 34., 36., 38.]]))

1
A * B
tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
        [ 64.,  81., 100., 121.],
        [144., 169., 196., 225.],
        [256., 289., 324., 361.]])

1
2
3
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
         [ 4,  5,  6,  7],
         [ 8,  9, 10, 11]],

        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

1
a + X, (a * X).shape
(tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
          [ 6,  7,  8,  9],
          [10, 11, 12, 13]],
 
         [[14, 15, 16, 17],
          [18, 19, 20, 21],
          [22, 23, 24, 25]]]),
 torch.Size([2, 3, 4]))

降维

1
2
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

1
A.shape, A.sum()
(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))

默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。 

1
2
3
4
5
# 表示对张量 A 的第 0 维（行）进行求和，即对每一列的所有行求和。
# 沿着第 0 维进行 “压缩”（即把多个行压缩成一行），所以在每一列上做加法
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
# shape 是 (4,)，表示有 4 个元素（一列一个）
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

指定axis=1将通过汇总所有列的元素降维（轴1）。因此，输入轴1的维数在输出形状中消失。

1
2
3
# A.sum(axis=1) 表示对 第 1 维（列）求和，即对每一行中的元素求和。
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))
  • axis=0：跨行操作 → 对“列”求和（结果是列维度被压缩）
  • axis=1：跨列操作 → 对“行”求和（结果是行维度被压缩）
1
2
# 沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。
A.sum(axis=[0, 1])  # 结果和A.sum()相同
tensor(190.)

一个与求和相关的量是平均值（mean或average）。们通过将总和除以元素总数来计算平均值。 在代码中，我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。

1
2
# 对张量 A 的第 0 维（行）求平均值，即对每一列的所有行求平均。
A.mean(), A.sum() / A.numel()
(tensor(9.5000), tensor(9.5000))

同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。

1
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

非降维求和

但是，有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用。

1
2
sum_A = A.sum(axis=0, keepdims=True)   # 保留维度
sum_A
tensor([[40., 45., 50., 55.]])

1
2
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)   # 保留维度
sum_A
tensor([[ 6.],
        [22.],
        [38.],
        [54.],
        [70.]])
  • 如果axis=1，则结果是列向量
  • 如果axis=0，则结果是行向量

由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以通过广播将A除以sum_A。

1
A / sum_A
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

沿某个轴计算A元素的累积总和， 比如axis=0（按行计算），可以调用cumsum函数。 此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。

1
A
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.],
        [12., 13., 14., 15.],
        [16., 17., 18., 19.]])

1
A.cumsum(axis=0)
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  6.,  8., 10.],
        [12., 15., 18., 21.],
        [24., 28., 32., 36.],
        [40., 45., 50., 55.]])

axis=0 沿着 → 行进行累加 （即每列分别从上往下逐行累加）

行号 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列
0 0 1 2 3
1 0+4=4 1+5=6 2+6=8 3+7=10
2 4+8=12 6+9=15 8+10=18 10+11=21
3 12+12=24 15+13=28 18+14=32 21+15=36
4 24+16=40 28+17=45 32+18=50 36+19=55

点积（Dot Product）

1
2
y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

1
torch.sum(x * y)
tensor(6.)

1
torch.dot(x, y)
tensor(6.)

矩阵-向量积

矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时，会执行矩阵-向量积。 注意，A的列维数（沿轴1的长度）必须与x的维数（其长度）相同。

1
A, x
(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([0., 1., 2., 3.]))

1
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14.,  38.,  62.,  86., 110.]))

矩阵-矩阵乘法

A是一个5行4列的矩阵，B是一个4行3列的矩阵。 两者相乘后，我们得到了一个5行3列的矩阵。

1
2
B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)
tensor([[ 6.,  6.,  6.],
        [22., 22., 22.],
        [38., 38., 38.],
        [54., 54., 54.],
        [70., 70., 70.]])

范数

线性代数中最有用的一些运算符是范数（norm）。非正式地说，向量的范数是表示一个向量有多大。这里考虑的大小（size）概念不涉及维度，而是分量的大小。
在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数 $f$ 。给定任意向量 $\mathbf{x}$ ，向量范数要满足一些属性。
第一个性质是：如果我们按常数因子 $\alpha$ 缩放向量的所有元素，其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放：

$$
f(\alpha \mathbf{x}) = |\alpha| f(\mathbf{x})
$$

第二个性质是熟悉的三角不等式:

$$
f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \leq f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y})
$$

第三个性质简单地说范数必须是非负的:

$$
f(\mathbf{x}) \geq 0
$$

这是有道理的。因为在大多数情况下，任何东西的最小的大小是0。最后一个性质要求范数最小为0，当且仅当向量全由0组成。

$$
\forall i, (\mathbf{x})_i = 0 \iff f(\mathbf{x}) = 0
$$

范数听起来很像距离的度量。欧几里得距离和毕达哥拉斯定理中的非负性概念和三角不等式可能会给出一些启发。
事实上，欧几里得距离是一个 $L_2$ 范数，假设 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 中的元素是 $x_1,\ldots,x_n$ ，其 $L_2$ 范数是向量元素平方和的平方根：

$$
\lVert \mathbf{x} \rVert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
$$

其中，在 $L_2$ 范数中常常省略下标 $2$ ，也就是说 $|\mathbf{x}|$ 等同于 $|\mathbf{x}|_2$ 。
在代码中，我们可以按如下方式计算向量的 $L_2$ 范数。

1
2
u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)   # 默认计算 L2 范数，即欧几里得范数
tensor(5.)

深度学习中更经常地使用 $L_2$ 范数的平方，也会经常遇到 $L_1$ 范数，它表示为向量元素的绝对值之和:

$$
\lVert \mathbf{x} \rVert_1 = \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right|
$$

与 $L_2$ 范数相比， $L_1$ 范数受异常值的影响较小。为了计算 $L_1$ 范数，我们将绝对值函数和按元素求和组合起来。

1
torch.abs(u).sum()   # 是对张量 u 中每个元素的 绝对值 求和。
tensor(7.)

$L_2$ 范数和 $L_1$ 范数都是更一般的 $L_p$ 范数的特例：

$$
\lVert \mathbf{x} \rVert_p = \left( \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right|^p \right)^{1/p}
$$

类似于向量的 $L_2$ 范数，[矩阵] $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 的 Frobenius 范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根，定义如下：

$$
\lVert \mathbf{X} \rVert_F = \left( \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} x_{ij}^2 \right)^{1/2}
$$

Frobenius 范数满足与向量范数相同的所有性质，它就像是矩阵的 $L_2$ 范数，可以将矩阵视为一个展开的向量。

1
torch.norm(torch.ones((4, 9)))   # torch.norm 默认计算的是整个张量的 L2 范数，即所有元素的平方和的平方根
tensor(6.)

范数和目标

在深度学习中，我们经常试图解决优化问题：
最大化分配给观测数据的概率; 最小化预测和真实观测之间的距离。用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。 目标，或许是深度学习算法最重要的组成部分（除了数据），通常被表达为范数。

小结

  • 标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本数学对象。
  • 向量泛化自标量，矩阵泛化自向量。
  • 标量、向量、矩阵和张量分别具有零、一、二和任意数量的轴。
  • 一个张量可以通过sum和mean沿指定的轴降低维度。
  • 两个矩阵的按元素乘法被称为他们的Hadamard积。它与矩阵乘法不同。
  • 在深度学习中，我们经常使用范数，如$L_1$范数、$L_2$范数和Frobenius范数。
  • 我们可以对标量、向量、矩阵和张量执行各种操作。

微积分

在深度学习中，“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。通常情况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function）， 即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。 但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。 因此，可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：

  • 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
  • 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

导数和微分

首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。
在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。简而言之，对于每个参数，如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少，假设我们有一个函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$，其输入和输出都是标量。(如果$f$的导数存在，这个极限被定义为)

$$
f’(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$

如果$f’(a)$存在，则称$f$在$a$处是可微（differentiable）的。如果$f$在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。可以将导数$f’(x)$解释为$f(x)$相对于$x$的瞬时（instantaneous）变化率。所谓的瞬时变化率是基于$x$中的变化$h$，且$h$接近$0$。
为了更好地解释导数，让我们做一个实验。(定义$u=f(x)=3x^2-4x$)如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l


def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x

通过令$x=1$并让$h$接近$0$，$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$的数值结果接近$2$。虽然这个实验不是一个数学证明，但稍后会看到，当$x=1$时，导数$u’$是$2$。

1
2
3
4
5
6
7
def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1
h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003

给定$y=f(x)$，其中$x$和$y$分别是函数$f$的自变量和因变量。以下表达式是等价的：

$$
f’(x) = y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} f(x) = Df(x) = D_x f(x)
$$

其中符号$\frac{d}{dx}$和$D$是微分运算符，表示微分操作。可以使用以下规则来对常见函数求微分：

  • $DC = 0$（$C$是一个常数）
  • $Dx^n = nx^{n-1}$（幂律（power rule），$n$是任意实数）
  • $De^x = e^x$
  • $D\ln(x) = 1/x$

为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。假设函数$f$和$g$都是可微的，$C$是一个常数，则：

常数相乘法则
$$\frac{d}{dx} [Cf(x)] = C \frac{d}{dx} f(x)$$

加法法则

$$\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)$$

乘法法则

$$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f(x) \frac{d}{dx} [g(x)] + g(x) \frac{d}{dx} [f(x)]$$

除法法则

$$\frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x) \frac{d}{dx} [f(x)] - f(x) \frac{d}{dx} [g(x)]}{[g(x)]^2}$$

现在可以应用上述几个法则来计算$u’=f’(x)=3\frac{d}{dx}x^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4$。令$x=1$，我们有$u’=2$：在这个实验中，数值结果接近$2$，这一点得到了前面的实验的支持。当$x=1$时，此导数也是曲线$u=f(x)$切线的斜率。

为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用matplotlib
这是一个Python中流行的绘图库。要配置matplotlib生成图形的属性，我们需要(定义几个函数)。在下面，use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像。
注意，注释#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。

1
2
3
def use_svg_display():  #@save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')

定义set_figsize函数来设置图表大小。
注意，这里可以直接使用d2l.plt，因为导入语句 from matplotlib import pyplot as plt已标记为保存到d2l包中。

1
2
3
4
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save
    """设置matplotlib的图表大小"""
    use_svg_display()
    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

下面的set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()

通过这三个用于图形配置的函数，定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线， 因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """绘制数据点"""
    if legend is None:
        legend = []

    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()

    # 如果X有一个轴，输出True
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))

    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
1
2
x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])

svg

偏导数

梯度

可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。具体而言，设函数$f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$的输入是
一个$n$维向量$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n]^\top$，并且输出是一个标量。函数$f(\mathbf{x})$相对于$\mathbf{x}$的梯度是一个包含$n$个偏导数的向量:

$$
\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top
$$

其中$\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})$通常在没有歧义时被$\nabla f(\mathbf{x})$取代。

假设$\mathbf{x}$为$n$维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则:

  • 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$，都有$\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{A}^\top$
  • 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times m}$，都有$\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} = \mathbf{A}$
  • 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$，都有$\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = (\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top)\mathbf{x}$
  • $\nabla_{\mathbf{x}} |\mathbf{x} |^2 = \nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{x} = 2\mathbf{x}$

同样，对于任何矩阵$\mathbf{X}$，都有$\nabla_{\mathbf{X}} |\mathbf{X} |_F^2 = 2\mathbf{X}$。
正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。

小结

  • 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
  • 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
  • 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
  • 链式法则可以用来微分复合函数。

自动微分

求导是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。虽然求导的计算很简单，只需要一些基本的微积分。
但对于复杂的模型，手工进行更新是一件很痛苦的事情（而且经常容易出错）。
深度学习框架通过自动计算导数，即自动微分（automatic differentiation）来加快求导。
实际中，根据设计好的模型，系统会构建一个计算图（computational graph）， 来跟踪计算是哪些数据通过哪些操作组合起来产生输出。自动微分使系统能够随后反向传播梯度。这里，反向传播（backpropagate）意味着跟踪整个计算图，填充关于每个参数的偏导数。

一个简单的例子

假设我们想对函数$y=2\mathbf{x}^{\top}\mathbf{x}$关于列向量$\mathbf{x}$求导。首先，我们创建变量x并为其分配一个初始值。

1
2
3
4
import torch

x = torch.arange(4.0)
x
tensor([0., 1., 2., 3.])

计算$y$关于$\mathbf{x}$的梯度之前，需要一个地方来存储梯度。 重要的是，我们不会在每次对一个参数求导时都分配新的内存。
因为我们经常会成千上万次地更新相同的参数，每次都分配新的内存可能很快就会将内存耗尽。
注意，一个标量函数关于向量$\mathbf{x}$的梯度是向量，并且与$\mathbf{x}$具有相同的形状。

1
2
3
# 标记张量需要追踪梯度
x.requires_grad_(True)  # 等价于x=torch.arange(4.0,requires_grad=True)
x.grad  # 默认值是None

现在计算$y$。

1
2
y = 2 * torch.dot(x, x)
y
tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)

x是一个长度为4的向量，计算x和x的点积，得到了我们赋值给y的标量输出。 接下来，通过调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度，并打印这些梯度。

1
2
y.backward()
x.grad
tensor([ 0.,  4.,  8., 12.])

$y = 2(x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) \Rightarrow \frac{\partial y}{\partial x_i} = 4x_i$ ，所以 x.grad == 4 * x

1
x.grad == 4 * x
tensor([True, True, True, True])

1
2
3
4
5
# 在默认情况下，PyTorch会累积梯度，我们需要清除之前的值
x.grad.zero_()  # 清零梯度，避免累积
y = x.sum()
y.backward()
x.grad   # 不会直接影响 x 的值
tensor([1., 1., 1., 1.])

非标量变量的反向传播

当$y$不是标量时，向量$y$关于向量$x$的导数的最自然解释是一个矩阵。对于高阶和高维的$y$和$x$，求导的结果可以是一个高阶张量。
然而，虽然这些更奇特的对象确实出现在高级机器学习中（包括深度学习中），但当调用向量的反向计算时，通常会试图计算一批训练样本中每个组成部分的损失函数的导数。
这里，我们的目的不是计算微分矩阵，而是单独计算批量中每个样本的偏导数之和。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
# 对非标量调用backward需要传入一个gradient参数，该参数指定微分函数关于self的梯度。
# 本例只想求偏导数的和，所以传递一个1的梯度是合适的
x.grad.zero_()
y = x * x
# 等价于y.backward(torch.ones(len(x)))
"""
.backward() 默认只能对标量（0维张量）调用, 
如果你想对非标量调用 .backward()，必须显式提供每个元素的“权重”，也就是告诉 PyTorch：“我希望每个分量对结果的贡献是多大”。

x = torch.tensor([1., 2., 3.])
y = x * x          # y = [1., 4., 9.]
z = y.sum()        # z = 1 + 4 + 9 = 14
"""
y.sum().backward()
x.grad
tensor([0., 2., 4., 6.])

$ y.sum() = \sum_i y_i = \sum_i x_i ^ {2} \Rightarrow \frac{\partial y.sum()}{\partial x_i} = 2x_i$

分离计算

有时，我们希望将某些计算移动到记录的计算图之外。例如，假设$y$是作为$x$的函数计算的，而$z$
则是作为$y$和$x$的函数计算的。 想象一下，我们想计算$z$关于$x$的梯度，但由于某种原因，希望将$y$视为一个常数， 并且只考虑到$x$在$y$被计算后发挥的作用。这里可以分离y来返回一个新变量u，该变量与$y$具有相同的值， 但丢弃计算图中如何计算$y$的任何信息。 换句话说，梯度不会向后流经$u$到$x$。 因此，下面的反向传播函数计算$z=ux$关于$x$的偏导数，同时将$u$作为常数处理， 而不是$z=xx*x$关于$x$的偏导数。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x.grad.zero_()
y = x * x
"""
u = y.detach() 表示我们把 y 当成一个常数对待，不再跟踪它的梯度。
u.requires_grad 会是 False，也不会影响 x.grad 的求解。
此时：u = x²，但 PyTorch 会认为 “u 与 x 无关”。
"""
u = y.detach()   # !!! detach() 的作用是：从计算图中分离张量，让 u 不再和 x 有梯度关系。 
z = u * x

z.sum().backward()
x.grad == u
tensor([True, True, True, True])

由于记录了$y$的计算结果，我们可以随后在$y$上调用反向传播， 得到$y=xx$关于的$x$的导数，即$2x$。

1
2
3
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x
tensor([True, True, True, True])
写法 梯度 $\partial z / \partial x$ 原因
使用 detach() $x^2$ u 不依赖 x，不传播梯度
不使用 detach() $3x^2$ 完整链式法则，u 依赖 x

结论：

  • detach() 的写法，是把中间变量当作常数看待，梯度更“小”。
  • 不使用 detach() 的写法，是完整求导，梯度更“大”，更准确反映函数对变量的依赖。

Python控制流的梯度计算

使用自动微分的一个好处是： 即使构建函数的计算图需要通过Python控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），我们仍然可以计算得到的变量的梯度。 在下面的代码中，while循环的迭代次数和if语句的结果都取决于输入a的值。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
def f(a):
    b = a * 2
    while b.norm() < 1000:
        b = b * 2
    if b.sum() > 0:
        c = b
    else:
        c = 100 * b
    return c

# 计算梯度
a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()

现在可以分析上面定义的f函数。请注意，它在其输入a中是分段线性的。换言之，对于任何a，存在某个常量标量k，使得 $f(a)=k*a$ ，其中k的值取决于输入a，因此可以用d/a验证梯度是否正确。

1
a.grad == d / a
tensor(True)

小结

深度学习框架可以自动计算导数：我们首先将梯度附加到想要对其计算偏导数的变量上，然后记录目标值的计算，执行它的反向传播函数，并访问得到的梯度。

概率